Ryfujk

Математи́чна інду́кція — застосування принципу індукції для доведення теорем в математиці. Зазвичай полягає в доведенні правильності твердження стосовно одного з натуральних чисел, а потім всіх наступних.

Принцип індукції полягає в тому, що нескінченна послідовність тверджень Pi{displaystyle P_{i}}, i=1,…,∞{displaystyle i=1,dots ,infty }, правильна якщо:

1. 
   P1{displaystyle P_{1}} — правильне, та


2. із правильності Pk{displaystyle P_{k}} випливає правильність (істинність) Pk+1{displaystyle P_{k+1}} для всіх k.

Індуктивне доведення наочно може бути представлене у вигляді т.зв. принципу доміно. Нехай довільне число кісточок доміно виставлено в ряд таким чином, що кожна кісточка, падаючи, обов'язково перекине наступну за нею кісточку (це індукційний перехід). Тоді, якщо ми штовхнемо першу кісточку (це база індукції), то всі кісточки в ряду впадуть.

На практиці використовується, щоб довести істинність певного твердження для всіх натуральних чисел. Для цього спочатку перевіряється істинність твердження за номером 1 - база (базис) індукції, а потім доводиться, що, якщо правдиве твердження з номером n, то правдиве й наступне твердження за номером n + 1 - крок індукції, або індукційний перехід.

Формулювання |

Припустимо, що потрібно встановити справедливість безкінечною послідовності тверджень, занумерованих натуральними числами: P1,P2,…,Pn,Pn+1,…{displaystyle P_{1},P_{2},ldots ,P_{n},P_{n+1},ldots }.

Логічною підставою для цього методу докази слугує так звана аксіома індукції, п'ята з аксіом Пеано, що визначають натуральні числа. Правильність методу індукції еквівалентна тому, що в будь-якій непорожній підмножині натуральних чисел існує мінімальний елемент.

Принцип повної математичної індукції |

Існує також варіація, так званий принцип повної математичної індукції. Ось його суворе формулювання:

У цій варіації база індукції виявляється зайвою, оскільки є тривіальним окремим випадком індукційного переходу. Дійсно, при n=1{displaystyle n=1} імплікація (∀i∈{1;…;n−1})Pi⟶Pn{displaystyle (forall iin {1;dots ;n-1})P_{i}longrightarrow P_{n}} еквівалентна P1{displaystyle P_{1}}. Принцип повної математичної індукції є прямим застосуванням більш сильною трансфінітної індукції.

Принцип повної математичної індукції також еквівалентний аксіомі індукції в аксіомах Пеано.

Історія |

Усвідомлення методу математичної індукції окремим методом походить від Блеза Паскаля і Герсоніда, хоча окремі випадки використання цього методу відомі ще в Платона (Діалог Парменід — можливо, міститься на початку приклад неявного індуктивного доведення), Прокла і Евкліда. Сучасну назву методу запровадив британський математик Ауґустус де Морган у 1838 році.

Приклади |

Задача. Довести, що, якими б не були натуральне n і дійсне q ≠ 1, справджується рівність

1+q+q2+⋯+qn=1−qn+11−q.{displaystyle 1+q+q^{2}+cdots +q^{n}={frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.}

Доведення. Індукція по n.

База, n = 1:

1+q=(1−q)(1+q)1−q=1−q1+11−q.{displaystyle 1+q={frac {(1-q)(1+q)}{1-q}}={frac {1-q^{1+1}}{1-q}}.}

Перехід: припустимо, що

1+q+⋯+qn=1−qn+11−q,{displaystyle 1+q+cdots +q^{n}={frac {1-q^{n+1}}{1-q}},}

тоді

1+q+⋯+qn+qn+1=1−qn+11−q+qn+1={displaystyle 1+q+cdots +q^{n}+q^{n+1}={frac {1-q^{n+1}}{1-q}}+q^{n+1}=}

=1−qn+1+(1−q)qn+11−q=1−qn+1+qn+1−q(n+1)+11−q=1−q(n+1)+11−q{displaystyle ={frac {1-q^{n+1}+(1-q)q^{n+1}}{1-q}}={frac {1-q^{n+1}+q^{n+1}-q^{(n+1)+1}}{1-q}}={frac {1-q^{(n+1)+1}}{1-q}}},

що й потрібно було довести.

Коментар: істинність тверджения Pn{displaystyle P_{n}} в цьому доведенні — то саме, що й істинність рівності

1+q+⋯+qn=1−qn+11−q.{displaystyle 1+q+cdots +q^{n}={frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.}

Варіації та узагальнення |

• Трансфінітна індукція


• Структурна індукція


• Аксіоми Пеано


• 
  Зворотня індукція або Індукція Коші
  

Джерела |

Література |

Вікіпідручник має книгу на тему Знайомство з методом математичної індукції

• Н.Я. Виленкін. Індукція. Комбінаторика. — Посібник для вчителів. — Просвіта, 1976. — 48 с.


• Л.І. Головина, І.М. Яглом. Індукція у геометрії. — Фізматгіз, 1961. — Т. 21. — 100 с. — (Популярні лекції з математики)


• Р. Курант, Г. Роббінс. Глава I, § 2 // Що таке математика?.


• І.С. Соминський. Метод математичної індукції. — Наука, 1965. — Т. 3. — 58 с. — (Популярні лекції з математики)

Відеоматеріали |

• Курс відеолекцій з математичної індукції українською мовою


• Приклади розв'язування задач (відео українською мовою)

Див. також |

• Доведення


• Дедукція


• Формальна логіка


• Проблема індукції

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.