Авторегресивна умовна гетероскедастичність АРУГ(q) (ARCH(q))...
Статті, які варто перекласти з англійськоїНелінійний аналіз часових рядівАвтокореляція
економетриціангл.часових рядівдисперсіястандартна нормальнавипадкова величинаметодом найменших квадратівРоберт Енґл
В економетриці, Авторегресивні умовно гетероскедастичні (АРУГ) (англ. Autoregressive conditional heteroskedasticity, ARCH) моделі використовуються для опису і моделювання часових рядів.
Такі моделі використовуються у випадках коли є підстави вважати, що в на кожному відрізку часу, дисперсія часового ряду залежить від різних параметрів і не є сталою.
АРУГ(q) (ARCH(q)) модель |
Нехай потрібно змоделювати часовий ряд використовуючи АРУГ процес. Позначимо ϵt {displaystyle ~epsilon _{t}~} похибки (залишки доходів відносно середнього процесу). Ці ϵt {displaystyle ~epsilon _{t}~} розкладаються на стохастичний член, zt{displaystyle z_{t}}, та стандартне відхилення, залежне від часу, σt{displaystyle sigma _{t}}. σt{displaystyle sigma _{t}} характеризує величину ϵt {displaystyle ~epsilon _{t}~} наступним чином
- ϵt=σtzt {displaystyle ~epsilon _{t}=sigma _{t}z_{t}~}
тут zt{displaystyle z_{t}} — стандартна нормальна випадкова величина (математичне сподівання = 0, дисперсія = 1), (тобто, zt∼iidN(0,1)){displaystyle z_{t}{overset {textrm {iid}}{thicksim }}N(0,1))} і ряд σt2{displaystyle sigma _{t}^{2}} моделюється як
- σt2=α0+α1ϵt−12+⋯+αqϵt−q2=α0+∑i=1qαiϵt−i2{displaystyle sigma _{t}^{2}=alpha _{0}+alpha _{1}epsilon _{t-1}^{2}+cdots +alpha _{q}epsilon _{t-q}^{2}=alpha _{0}+sum _{i=1}^{q}alpha _{i}epsilon _{t-i}^{2}}
де α0>0 {displaystyle ~alpha _{0}>0~} та αi≥0, i>0{displaystyle alpha _{i}geq 0,~i>0}.
Параметри АРУГ(q) моделі можуть бути оцінені методом найменших квадратів. Метод тестування кількості лагів похибок моделі УАРГ з використанням методу множників Лагранжа запропонував Роберт Енґл. Процедура тестування здійснюється виконанням кроків:
- Оцінити найкращу підгонку АР(q) модель yt=a0+a1yt−1+⋯+aqyt−q+ϵt=a0+∑i=1qaiyt−i+ϵt{displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+cdots +a_{q}y_{t-q}+epsilon _{t}=a_{0}+sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+epsilon _{t}}.
- Отримати квадрати похибок ϵ^2{displaystyle {hat {epsilon }}^{2}} і зрегресувати їх на константі та q лагах (запізненнях):
- ϵ^t2=α^0+∑i=1qα^iϵ^t−i2{displaystyle {hat {epsilon }}_{t}^{2}={hat {alpha }}_{0}+sum _{i=1}^{q}{hat {alpha }}_{i}{hat {epsilon }}_{t-i}^{2}}
- тут q кількість запізнень УАРГ процесу.
Нульова гіпотеза полягає в тому, що якщо ми не маємо АРУГ компонентів, тоді має виконуватися αi=0 ∀ i=1,⋯,q{displaystyle alpha _{i}=0 forall i=1,cdots ,q}. Альтернативна гіпотеза про присутність УАРГ компонентів перевіряється тим, що принаймні один оцінений параметр αi{displaystyle alpha _{i}} суттєво відрізняється від нуля. Для вибірки з T похибок за умови вірності нульової гіпотези (похибки не є АРУГ процесом) тестова статистика TR² має χ2{displaystyle chi ^{2}} розподіл з q ступенями свободи. Якщо TR² більше ніж відповдний квантиль хі-квадрат розподілу ми відкидаємо нульову гіпотезу і робимо висновок, що присутній УАРГ ефект у АРРС моделі. Якщо TR² — менше ніж квантиль хі-квадрат розподілу ми не відкидаємо нульову гіпотезу.
 | Це незавершена стаття зі статистики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її. |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Категорія
Портал
Вікісховище
