Arithmetic mean geometric mean inequality unclearproving inequality?Practicing the arithmetic-geometric means...

Do the temporary hit points from the Battlerager barbarian's Reckless Abandon stack if I make multiple attacks on my turn?

Why are there no referendums in the US?

What can we do to stop prior company from asking us questions?

How do I go from 300 unfinished/half written blog posts, to published posts?

Is exact Kanji stroke length important?

Method to test if a number is a perfect power?

Escape a backup date in a file name

How can I get through very long and very dry, but also very useful technical documents when learning a new tool?

Do sorcerers' Subtle Spells require a skill check to be unseen?

Is a stroke of luck acceptable after a series of unfavorable events?

Would a high gravity rocky planet be guaranteed to have an atmosphere?

Is the destination of a commercial flight important for the pilot?

Sequence of Tenses: Translating the subjunctive

Why Were Madagascar and New Zealand Discovered So Late?

Failed to fetch jessie backports repository

How easy is it to start Magic from scratch?

Trouble understanding the speech of overseas colleagues

Roman Numeral Treatment of Suspensions

Crossing the line between justified force and brutality

Pre-amplifier input protection

Is there a good way to store credentials outside of a password manager?

Term for the "extreme-extension" version of a straw man fallacy?

A Rare Riley Riddle

How to check is there any negative term in a large list?



Arithmetic mean geometric mean inequality unclear


proving inequality?Practicing the arithmetic-geometric means inequalityArithmetic Mean and Geometric Mean Question, Guidance NeededHow prove Reversing the Arithmetic mean – Geometric mean inequality？Mean Value Theorem and Inequality.Using arithmetic mean>geometric meanNesbitt's Inequality $frac{a}{b+c}+frac{b}{c+a}+frac{c}{a+b}geqfrac{3}{2}$Problem in Arithmetic Mean - Geometric Mean inequalityProving Cauchy-Schwarz with Arithmetic Geometric meanInequality involving a kind of Harmonic mean













1












$begingroup$


I know that the AM-GM inequality takes the form $$ frac{x + y}{2} geq sqrt{xy},$$ but I read in a book another form which is $$ frac{x^2 + y^2}{2} geq |xy|,$$ but I am wondering how the second comes from the first? could anyone explain this for me please?






calculus inequality







share|cite|improve this question











$endgroup$

















    1












    $begingroup$


    I know that the AM-GM inequality takes the form $$ frac{x + y}{2} geq sqrt{xy},$$ but I read in a book another form which is $$ frac{x^2 + y^2}{2} geq |xy|,$$ but I am wondering how the second comes from the first? could anyone explain this for me please?






    calculus inequality







    share|cite|improve this question











    $endgroup$















      1












      1








      1


      1



      $begingroup$


      I know that the AM-GM inequality takes the form $$ frac{x + y}{2} geq sqrt{xy},$$ but I read in a book another form which is $$ frac{x^2 + y^2}{2} geq |xy|,$$ but I am wondering how the second comes from the first? could anyone explain this for me please?






      calculus inequality







      share|cite|improve this question











      $endgroup$




      I know that the AM-GM inequality takes the form $$ frac{x + y}{2} geq sqrt{xy},$$ but I read in a book another form which is $$ frac{x^2 + y^2}{2} geq |xy|,$$ but I am wondering how the second comes from the first? could anyone explain this for me please?






      calculus inequality




      calculus inequality






      share|cite|improve this question















      share|cite|improve this question













      share|cite|improve this question




      share|cite|improve this question








      edited 5 hours ago









      Bernard

      123k741117




      123k741117










      asked 5 hours ago









      hopefullyhopefully

      274114




      274114






















          2 Answers
          2






          active

          oldest

          votes


















          4












          $begingroup$

          If you plug $x=X^2$, $y=Y^2$ into the first inequality you get
          $$frac{X^2+Y^2}{2} ge sqrt{X^2Y^2} = sqrt{(XY)^2}=|XY|,$$
          which is the second inequality (modulo capitalization).






          share|cite|improve this answer









          $endgroup$





















            3












            $begingroup$

            The AM-GM inequality for $n$ non-negative values is



            $frac1{n}(sum_{k=1}^n x_k)
            ge (prod_{k=1}^n x_k)^{1/n}
            $            .



            This can be rewritten in two ways.



            First,
            by simple algebra,



            $(sum_{k=1}^n x_i)^n
            ge n^n(prod_{k=1}^n x_k)
            $            .



            Second,
            letting $x_k = y_k^n$,
            this becomes



            $frac1{n}(sum_{k=1}^n y_k^n)
            ge prod_{k=1}^n y_k
            $            .



            It is useful to recognize
            these disguises.






            share|cite|improve this answer









            $endgroup$













              Your Answer





              StackExchange.ifUsing("editor", function () {
              return StackExchange.using("mathjaxEditing", function () {
              StackExchange.MarkdownEditor.creationCallbacks.add(function (editor, postfix) {
              StackExchange.mathjaxEditing.prepareWmdForMathJax(editor, postfix, [["$", "$"], ["\\(","\\)"]]);
              });
              });
              }, "mathjax-editing");

              StackExchange.ready(function() {
              var channelOptions = {
              tags: "".split(" "),
              id: "69"
              };
              initTagRenderer("".split(" "), "".split(" "), channelOptions);

              StackExchange.using("externalEditor", function() {
              // Have to fire editor after snippets, if snippets enabled
              if (StackExchange.settings.snippets.snippetsEnabled) {
              StackExchange.using("snippets", function() {
              createEditor();
              });
              }
              else {
              createEditor();
              }
              });

              function createEditor() {
              StackExchange.prepareEditor({
              heartbeatType: 'answer',
              autoActivateHeartbeat: false,
              convertImagesToLinks: true,
              noModals: true,
              showLowRepImageUploadWarning: true,
              reputationToPostImages: 10,
              bindNavPrevention: true,
              postfix: "",
              imageUploader: {
              brandingHtml: "Powered by u003ca class="icon-imgur-white" href="https://imgur.com/"u003eu003c/au003e",
              contentPolicyHtml: "User contributions licensed under u003ca href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/"u003ecc by-sa 3.0 with attribution requiredu003c/au003e u003ca href="https://stackoverflow.com/legal/content-policy"u003e(content policy)u003c/au003e",
              allowUrls: true
              },
              noCode: true, onDemand: true,
              discardSelector: ".discard-answer"
              ,immediatelyShowMarkdownHelp:true
              });


              }
              });














              draft saved

              draft discarded


















              StackExchange.ready(
              function () {
              StackExchange.openid.initPostLogin('.new-post-login', 'https%3a%2f%2fmath.stackexchange.com%2fquestions%2f3165273%2farithmetic-mean-geometric-mean-inequality-unclear%23new-answer', 'question_page');
              }
              );

              Post as a guest















              Required, but never shown

























              2 Answers
              2






              active

              oldest

              votes








              2 Answers
              2






              active

              oldest

              votes









              active

              oldest

              votes






              active

              oldest

              votes









              4












              $begingroup$

              If you plug $x=X^2$, $y=Y^2$ into the first inequality you get
              $$frac{X^2+Y^2}{2} ge sqrt{X^2Y^2} = sqrt{(XY)^2}=|XY|,$$
              which is the second inequality (modulo capitalization).






              share|cite|improve this answer









              $endgroup$


















                4












                $begingroup$

                If you plug $x=X^2$, $y=Y^2$ into the first inequality you get
                $$frac{X^2+Y^2}{2} ge sqrt{X^2Y^2} = sqrt{(XY)^2}=|XY|,$$
                which is the second inequality (modulo capitalization).






                share|cite|improve this answer









                $endgroup$
















                  4












                  4








                  4





                  $begingroup$

                  If you plug $x=X^2$, $y=Y^2$ into the first inequality you get
                  $$frac{X^2+Y^2}{2} ge sqrt{X^2Y^2} = sqrt{(XY)^2}=|XY|,$$
                  which is the second inequality (modulo capitalization).






                  share|cite|improve this answer









                  $endgroup$



                  If you plug $x=X^2$, $y=Y^2$ into the first inequality you get
                  $$frac{X^2+Y^2}{2} ge sqrt{X^2Y^2} = sqrt{(XY)^2}=|XY|,$$
                  which is the second inequality (modulo capitalization).







                  share|cite|improve this answer












                  share|cite|improve this answer



                  share|cite|improve this answer










                  answered 5 hours ago









                  jgonjgon

                  16k32143




                  16k32143























                      3












                      $begingroup$

                      The AM-GM inequality for $n$ non-negative values is



                      $frac1{n}(sum_{k=1}^n x_k)
                      ge (prod_{k=1}^n x_k)^{1/n}
                      $                      .



                      This can be rewritten in two ways.



                      First,
                      by simple algebra,



                      $(sum_{k=1}^n x_i)^n
                      ge n^n(prod_{k=1}^n x_k)
                      $                      .



                      Second,
                      letting $x_k = y_k^n$,
                      this becomes



                      $frac1{n}(sum_{k=1}^n y_k^n)
                      ge prod_{k=1}^n y_k
                      $                      .



                      It is useful to recognize
                      these disguises.






                      share|cite|improve this answer









                      $endgroup$


















                        3












                        $begingroup$

                        The AM-GM inequality for $n$ non-negative values is



                        $frac1{n}(sum_{k=1}^n x_k)
                        ge (prod_{k=1}^n x_k)^{1/n}
                        $                        .



                        This can be rewritten in two ways.



                        First,
                        by simple algebra,



                        $(sum_{k=1}^n x_i)^n
                        ge n^n(prod_{k=1}^n x_k)
                        $                        .



                        Second,
                        letting $x_k = y_k^n$,
                        this becomes



                        $frac1{n}(sum_{k=1}^n y_k^n)
                        ge prod_{k=1}^n y_k
                        $                        .



                        It is useful to recognize
                        these disguises.






                        share|cite|improve this answer









                        $endgroup$
















                          3












                          3








                          3





                          $begingroup$

                          The AM-GM inequality for $n$ non-negative values is



                          $frac1{n}(sum_{k=1}^n x_k)
                          ge (prod_{k=1}^n x_k)^{1/n}
                          $                          .



                          This can be rewritten in two ways.



                          First,
                          by simple algebra,



                          $(sum_{k=1}^n x_i)^n
                          ge n^n(prod_{k=1}^n x_k)
                          $                          .



                          Second,
                          letting $x_k = y_k^n$,
                          this becomes



                          $frac1{n}(sum_{k=1}^n y_k^n)
                          ge prod_{k=1}^n y_k
                          $                          .



                          It is useful to recognize
                          these disguises.






                          share|cite|improve this answer









                          $endgroup$



                          The AM-GM inequality for $n$ non-negative values is



                          $frac1{n}(sum_{k=1}^n x_k)
                          ge (prod_{k=1}^n x_k)^{1/n}
                          $                          .



                          This can be rewritten in two ways.



                          First,
                          by simple algebra,



                          $(sum_{k=1}^n x_i)^n
                          ge n^n(prod_{k=1}^n x_k)
                          $                          .



                          Second,
                          letting $x_k = y_k^n$,
                          this becomes



                          $frac1{n}(sum_{k=1}^n y_k^n)
                          ge prod_{k=1}^n y_k
                          $                          .



                          It is useful to recognize
                          these disguises.







                          share|cite|improve this answer












                          share|cite|improve this answer



                          share|cite|improve this answer










                          answered 5 hours ago









                          marty cohenmarty cohen

                          74.9k549130




                          74.9k549130






























                              draft saved

                              draft discarded




















































                              Thanks for contributing an answer to Mathematics Stack Exchange!


                              • Please be sure to answer the question. Provide details and share your research!

                              But avoid …



                              • Asking for help, clarification, or responding to other answers.

                              • Making statements based on opinion; back them up with references or personal experience.


                              Use MathJax to format equations. MathJax reference.


                              To learn more, see our tips on writing great answers.




                              draft saved


                              draft discarded














                              StackExchange.ready(
                              function () {
                              StackExchange.openid.initPostLogin('.new-post-login', 'https%3a%2f%2fmath.stackexchange.com%2fquestions%2f3165273%2farithmetic-mean-geometric-mean-inequality-unclear%23new-answer', 'question_page');
                              }
                              );

                              Post as a guest















                              Required, but never shown





















































                              Required, but never shown














                              Required, but never shown












                              Required, but never shown







                              Required, but never shown

































                              Required, but never shown














                              Required, but never shown












                              Required, but never shown







                              Required, but never shown







                              -

                              Popular posts from this blog

                              Фонтен-ла-Гаярд Зміст Демографія | Економіка | Посилання |...

                              Image
                              Муніципалітети департаменту Йонна фр.муніципалітетФранціїБургундія-Франш-КонтеЙоннаПарижаДіжонаОсера Фонтен-ла-Гаярд Fontaine-la-Gaillarde Країна  Франція Регіон Бургундія-Франш-Конте  Департамент Йонна  Округ Сан Кантон Сан-Норд-Ест Код INSEE 89172 Поштові індекси 89100 Координати 48°13′13″ пн. ш. 3°22′51″ сх. д. H G O Висота 111 - 234 м.н.р.м. Площа 10,61 км² Населення 502 (2011-01-01) Густота 47,31 ос./км² Розміщення Влада Мер Мандат Michel Papinaud 2014-2020 Фонте́н-ла-Гая́рд , Фонтен-ла-Ґаярд (фр. Fontaine-la-Gaillarde ) — муніципалітет у Франції, у регіоні Бургундія-Франш-Конте, департамент Йонна. Населення — 502 осіб (2011) [1] . Муніципалітет розташований на відстані [2] близько 105 км на південний схід від Парижа, 160 км на північний захід від Діжона, 50 км на північ від Осера. Зміст 1 Демографія 2 Економіка 3 Посилання 4 Див. т...
                              Read more

                              Список ссавців Італії Природоохоронні статуси | Список |...

                              Image
                              Списки ссавцівФауна ІталіїСписки:ІталіяСсавці Італії ІталіїМСОПХижіCetartiodactylaРукокриліКомахоїдніЗайцеподібніГризуниМСОП ссавці Італії ? Італія Біорегіон Біогеографічний екорегіон Голарктика Екозона Палеарктика Біом субтропічний ліс, альпійські луки, прісні води, континентальний шельф, континентальний схил Місцевість Континент Європа Країна Італія Територія Середземне море Фауна більшого обсягу За географією фауна Європи За систематикою ссавці, фауна Італії За екологією суходільна фауна, морська фауна За біогеографією теріофауна Європи Геологічний вік сучасність Особливості Видовий обсяг 121 Чужорідні види Genetta genetta, Ondatra zibethicus, Oryctolagus cuniculus, Rattus norvegicus, Rattus rattus, Sciurus carolinensis, Tamias sibiricus Список ссавців Італії містить перелік видів, записаних на території Італії (південна Європа) згідно з ...
                              Read more

                              Маріан Котлеба Зміст Життєпис | Політичні погляди |...

                              Image
                              Народились 7 квітняНародились 1977Уродженці Банської БистриціВипускники Університету Матея БелаСловацькі політикиРевізіоністи ГолокостуРомофобиУльтраправіШовіністиПопулізмКритики Європейського союзуАнтиамериканізм словац.7 квітня1977Банська БистрицяЧССРультраправийсловацькийполітикЙозефу ТісоПершій Словацькій республіціВолодимиру ПутінуциганНАТОСШАЄвросоюзусловацьке національне повстанняантисемітськоїпопулістської«Котлеба — Народної партії Наша Словаччина»Банськобистрицького краю7 квітня1977Банська БистрицяЧССРуніверситету Матея Бела20062000200921 лютого2010єврословацьку кронугромадського партнерстваЄСНАТОромської меншини2012напіввоєнізованих структурМіністерство внутрішніх справчервні2016Верховний судБанськобистрицькому краї2016однопалатний словацький законодавчий орган«Котлеба — Народна партія Наша Словаччина»Банськобистрицького краю«Глінкова гвардія»Другої світової війни«Революцію гідності» Маріан Котлеба словац. Marian Kotleba Народився 7 квітня 1977 ( 1977-04-...
                              Read more