Множина Віталі Історія | Побудова | Джерела | Навігаційне...
Теорія міри1905 у науці
множиниміри Лебеганевимірна множина1905Джузепе ВіталіАнрі Лебегтеорію міриобмеженої множиниаксіому виборувідношення еквівалентностікласу еквівалентностіаксіомою виборузліченне числооб'єднання
Множина́ Віта́лі — історично перший приклад множини, що не має міри Лебега (невимірна множина). Цей приклад опублікував 1905 року італійський математик Джузепе Віталі.
Історія |
1902 року Анрі Лебег у своїх лекціях «Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives», сформулював теорію міри і гадав, що вона може бути застосована до довільної обмеженої множини. Але поява контрприкладів розвіяла ці сподівання. Побудова таких невимірних множин завжди спирається на аксіому вибору.
Побудова |
Введемо відношення еквівалентності ∼{displaystyle sim } на відрізку [0,1]{displaystyle [0,;1]}:
![{displaystyle [0,;1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2421e6dd8ecf6af6a9a44ebe41ff776dcf98d68e)
x∼y⟺(x−y)∈Q{displaystyle xsim yquad iff quad (x-y)in mathbb {Q} } (є раціональним числом).
Виберемо із кожного класу еквівалентності по одному елементу (тут ми користуємося аксіомою вибору), отримана множина E{displaystyle E} буде невимірною.
Справді, якщо зсунути множину E{displaystyle E} зліченне число раз на всі раціональні числа з відрізка [−1,1]{displaystyle [-1,;1]}, то об'єднання таких множин буде включати в себе весь відрізок [0,1]{displaystyle [0,;1]} і саме буде включене у відрізок [−1,2]{displaystyle [-1,;2]}.
![{displaystyle [-1,;1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c317d2853c46f28fa52d2ab1d7f9bd51a253a9b)
![{displaystyle [-1,;2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3236194494ad55b195381566b824ac64bc9344fd)
Припустимо, що множина E{displaystyle E} має міру Лебега, тоді можливі 2 випадки:
- Міра E{displaystyle E} рівна нулю. Тоді міра відрізка [0,1]{displaystyle [0,;1]} (як зліченного об'єднання множин міри нуль) теж дорівнює нулю.
- Міра E{displaystyle E} більша нуля. Тоді, аналогічно, міра відрізка [−1,2]{displaystyle [-1,;2]} буде нескінченною.
В обох випадках отримуємо суперечність. Отже, множина Віталі не має міри Лебега.
Дійсно, якщо зсунути цю множину зліченну кількість раз, то вона заповнить весь відрізок: E=⋃n=1∞En=[0,1]{displaystyle E=bigcup _{n=1}^{infty }E_{n}=[0,;1]}.
![{displaystyle E=bigcup _{n=1}^{infty }E_{n}=[0,;1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2593d08640d3461a0e20b65f6a79c1c8d43deef)
Отже, в силу зліченної адитивності міри Лебега μ(⋃n=1∞En)=∑n=1∞μ(En){displaystyle mu left(bigcup _{n=1}^{infty }E_{n}right)=sum _{n=1}^{infty }mu (E_{n})}.
Якби у побудованої множини E{displaystyle E} була міра, то вона мала б бути не менше нуля.
Нехай μ(E)>0{displaystyle mu (E)>0}, при цьому всі μ(En){displaystyle mu (E_{n})} — рівні один одному в силу інваріантності міри Лебега, тобто, в силу зліченної адитивності міри Лебега ∑n=1∞μ(En)>1{displaystyle sum _{n=1}^{infty }mu (E_{n})>1}, що неможливо, так як μ([0,1])=∑n=1∞μ(En)=μ(E)=1{displaystyle mu ([0,;1])=sum _{n=1}^{infty }mu (E_{n})=mu (E)=1}.
![{displaystyle mu ([0,;1])=sum _{n=1}^{infty }mu (E_{n})=mu (E)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d0cba0feb7d0a39fea3bf997f75137f06c74779)
Нехай μ(E)=0{displaystyle mu (E)=0}, але це також неможливо, оскільки в такому випадку μ([0,1])=μ(⋃n=1∞En)=μ(E){displaystyle mu ([0,;1])=mu left(bigcup _{n=1}^{infty }E_{n}right)=mu (E)}, що протиречить визначенню міри Лебега, так як для відрізка [0,1]{displaystyle [0,;1]} ця міра рівна 1{displaystyle 1} в силу визначення міри Лебега.
![{displaystyle mu ([0,;1])=mu left(bigcup _{n=1}^{infty }E_{n}right)=mu (E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/305aa1f3eab9345b0c1bea52c541c6e321eca157)
Джерела |
Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва, Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)
Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — ISBN 5354008220.(рос.)
