Ryfujk

Рівняння вихору у гідроаеродинаміці описує розгортання завихореності ω частини рідини, яка рухається з потоком, тобто, описує завихореність локально (в термінах векторного обчислення це ротор швидкості потоку).

Рівняння вихору (рівняння еволюції вихору) — диференціальне рівняння з частинними похідними, яке описує еволюцію у просторі та часі вихору швидкості потоку рідини або газу.
Вихор швидкості (завихореність) — це ротор швидкості. Рівняння вихору використовується в таких областях: гідродинаміка, геофізична гідродинаміка, астрофізична гідродинаміка, у обчисленні прогнозу погоди.

Рівняння вихору має такий вигляд:

DωDt=∂ω∂t+(u⋅∇)ω=(ω⋅∇)u−ω(∇⋅u)+1ρ2∇ρ×∇p+∇×(∇⋅τρ)+∇×(Bρ){displaystyle {begin{aligned}{frac {D{boldsymbol {omega }}}{Dt}}&={frac {partial {boldsymbol {omega }}}{partial t}}+(mathbf {u} cdot nabla ){boldsymbol {omega }}\&=({boldsymbol {omega }}cdot nabla )mathbf {u} -{boldsymbol {omega }}(nabla cdot mathbf {u} )+{frac {1}{rho ^{2}}}nabla rho times nabla p+nabla times left({frac {nabla cdot tau }{rho }}right)+nabla times left({frac {B}{rho }}right)end{aligned}}}

де DDt — похідна Лагранжа, u — швидкість потоку, ρ — це локальна щільність рідини, p — локальний тиск, τ — це тензор в'язких напружень та B — позначає суму зовнішніх сил. Перший вираз правої частини означає розтягування вихору.

Рівняння є справедливе при відсутності будь-яких концентрованих крутних моментів та лінійних сил, для стисливої ньютонівської рідини.

У випадку нестисливої (тобто, малих значень числа Маха) та ізотропної рідини, з консервативними силами, рівняння спрощується до транспортного рівняння вихору

DωDt=(ω⋅∇)u+ν∇2ω{displaystyle {frac {D{boldsymbol {omega }}}{Dt}}=left({boldsymbol {omega }}cdot nabla right)mathbf {u} +nu nabla ^{2}{boldsymbol {omega }}}

де ν — кінематична в'язкість, а ∇² — оператор Лапласа.

Фізична інтерпретація |

• Вираз DωDt — у лівій частині похідна Лагранжа вектору вихору ω. Описує швидкість зміни руху завихореності частини рідини. Ця зміна може бути пов'язана з нестійкістю в потоці (∂ω∂t, нестаціонарний вираз) рухом частини рідини від однієї точки до іншої (u ∙ (∇ω), вираз конвекції).


• Вираз (ω ∙ ∇) u у правій частині описує розтягування або нахил вихору за рахунок градієнту швидкості потоку. Зауважимо, що ∇u — це тензор другого порядку з 9 компонентами.


• Вираз ω(∇ ∙ u) описує розтягування вихору з точки зору стисливості процесу. Це випливає з рівняння Нав'є-Стокса для забезпечення безперервності, а саме

∂ρ∂t+∇⋅(ρu)=0{displaystyle {frac {partial rho }{partial t}}+nabla cdot left(rho mathbf {u} right)=0}

або

∇⋅u=−1ρdρdt=1vdvdt{displaystyle nabla cdot mathbf {u} =-{frac {1}{rho }}{frac {drho }{dt}}={frac {1}{v}}{frac {dv}{dt}}}

де v = 1ρ  - це питомий об'єм елементів рідини, ∇ ∙ u — міра стисливості потоку. Іноді у виразі можуть бути від'ємні значення.

• Вираз 1ρ²∇ρ × ∇p — баротропний вираз. Це зміна в завихореності через перетин щільності і тиску поверхонь.


• У виразі ∇ × (∇ ∙ τρ) обраховується дифузія внаслідок ефекту в'язкості.


• Вираз ∇ × B передбачає зміни за рахунок зовнішніх сил. Це сили, які поширюються у тривимірній області поточного середовища, наприклад, гравітація або електромагнітні сили. 

Спрощення |

• У випадку консервативних сил, ∇ × B = 0.


• Для баротропних рідини, ∇ρ × ∇p = 0. Це також вірно і для постійної щільності рідини (в тому числі нестисливої рідини) де ∇ρ = 0. Зауважимо, що це не те ж саме, що й у випадку нестисливої рідини, для якої баротропним виразом не можна знехтувати.


• Для нев'язкої рідини, тензор в'язкості τ дорівнює нулю.

Таким чином, для нев'язкої, баротропної рідини з консервативними силами рівняння вихору спрощується до такого вигляду:

ddt(ωρ)=(ωρ)⋅∇u{displaystyle {frac {d}{dt}}left({frac {boldsymbol {omega }}{rho }}right)=left({frac {boldsymbol {omega }}{rho }}right)cdot nabla mathbf {u} }

З іншого боку, в разі нестисливої нев'язкої рідини з консервативними силами,

dωdt=(ω⋅∇)u{displaystyle {frac {d{boldsymbol {omega }}}{dt}}=({boldsymbol {omega }}cdot nabla )mathbf {u} }

Для короткого огляду інших випадків і спрощень, дивіться також.

Походження |

Рівняння вихору може бути отримано з рівнянь Нав'є-Стокса для консервативного моменту імпульсу. За відсутності будь-яких концентрованих крутних моментів і лінійних сил, отримаємо

DuDt=∂u∂t+(u⋅∇)u=−1ρ∇p+B+∇⋅τρ{displaystyle {frac {Dmathbf {u} }{Dt}}={frac {partial mathbf {u} }{partial t}}+left(mathbf {u} cdot nabla right)mathbf {u} =-{frac {1}{rho }}nabla p+mathbf {B} +{frac {nabla cdot tau }{rho }}}

Тут, завихореність визначається як ротор вектора швидкості потоку. Знаходження ротора дає шукане рівняння.

Наступні тотожності є корисними при виводі рівняння:

ω=∇×u(u⋅∇)u=∇(12u⋅u)−u×ω∇×(u×ω)=−ω(∇⋅u)+(ω⋅∇)u−(u⋅∇)ω∇⋅ω=0∇×∇ϕ=0{displaystyle {begin{aligned}&{boldsymbol {omega }}=nabla times mathbf {u} \&left(mathbf {u} cdot nabla right)mathbf {u} =nabla left({tfrac {1}{2}}mathbf {u} cdot mathbf {u} right)-mathbf {u} times {boldsymbol {omega }}\&nabla times left(mathbf {u} times {boldsymbol {omega }}right)=-{boldsymbol {omega }}left(nabla cdot mathbf {u} right)+left({boldsymbol {omega }}cdot nabla right)mathbf {u} -left(mathbf {u} cdot nabla right){boldsymbol {omega }}\[4pt]&nabla cdot {boldsymbol {omega }}=0\[4pt]&nabla times nabla phi =0end{aligned}}}

(де ϕ — будь-яке поле скалярів).

Позначення тензору |

Рівняння вихору може виразити за допомогою позначень тензору, використовуючи нотація ейнштейна та Символ Леві-Чивіти e_ijk:

DωiDt=∂ωi∂t+vj∂ωi∂xj=ωj∂vi∂xj−ωi∂vj∂xj+eijk1ρ2∂ρ∂xj∂p∂xk+eijk∂∂xj(1ρ∂τkm∂xm)+eijk∂Bk∂xj{displaystyle {begin{aligned}{frac {Domega _{i}}{Dt}}&={frac {partial omega _{i}}{partial t}}+v_{j}{frac {partial omega _{i}}{partial x_{j}}}\&=omega _{j}{frac {partial v_{i}}{partial x_{j}}}-omega _{i}{frac {partial v_{j}}{partial x_{j}}}+e_{ijk}{frac {1}{rho ^{2}}}{frac {partial rho }{partial x_{j}}}{frac {partial p}{partial x_{k}}}+e_{ijk}{frac {partial }{partial x_{j}}}left({frac {1}{rho }}{frac {partial tau _{km}}{partial x_{m}}}right)+e_{ijk}{frac {partial B_{k}}{partial x_{j}}}end{aligned}}}

Спеціальні (конкретні науки) |

Науки про атмосферу |

В науках про атмосферу, рівняння вихору може бути сформульоване в термінах абсолютної завихореності повітря по відношенню до інерціальної системі відліку, або завихореності по відношенню до обертання Землі. Абсолютна версія є такою

dηdt=−η∇h⋅vh−(∂ω∂x∂v∂z−∂ω∂y∂u∂z)−1ρ2k⋅(∇hp×∇hρ){displaystyle {frac {deta }{dt}}=-eta nabla _{h}cdot mathbf {v} _{h}-left({frac {partial omega }{partial x}}{frac {partial v}{partial z}}-{frac {partial omega }{partial y}}{frac {partial u}{partial z}}right)-{frac {1}{rho ^{2}}}mathbf {k} cdot left(nabla _{h}ptimes nabla _{h}rho right)}

Тут, η полярний (z) компонент вихору, ρ — щільність атмосфери, u, v, та ω компоненти швидкості вітру, та ∇_h двовимірний оператор Гамільтона.

Рівняння Фрідмана

В загальному випадку рух ньютонівської рідини підпорядковується рівнянням Нав'є-Стокса. На відміну від форми рівняння Ейлера для нестисливої рідини, в ньому враховуються ефекти стисливості та внутрішнього тертя. Застосовуючи до рівняння Нав'є-Стоксадиференціальний оператор rot  ми отримаємо рівняння Фрідмана.

Рівняння вихору турбулентної рідини
Рівняння Фрідмана застосовується до турбулентних течій. Але в такому випадку, всі вхідні в нього величини повинні розумітися як усереднені (в сенсі О. Рейнольдса). Однак, слід мати на увазі, що таке узагальнення тут є недостатньо точним. Справа в тому, що при виводі рівняння Фрідмана не брався до уваги (через відносно мале значення) вектор щільності турбулентного імпульсу, де межа зверху — знак усереднення, штрих — відхилення від середнього. Ця обставина полягає в тому, що рівняння Фрідмана не може пояснити явище циклу індексу, в якому спостерігається зворотній баротропний обмін енергією і кутовим моментом(момент імпульсу) між упорядкованим і турбулентним рухами. 

Див. також |

• Рівняння Нав'є-Стокса


• Гідродинаміка


• Тиск


• Момент імпульсу

Посилання |

• Збірник задач з теоретичної механіки. Львів-2011.ЛНУ імені Івана Франка